ブラウザー用 Twilio Client はファイアウォール内でも動作しますか ?

はい、動作します。Twilio クライアントは他の Web アプリケーションと同じようにウェブ ブラウザー内で実行されるため、ほとんどの場合は使用にあたり特に必要となるネットワーク設定要件はありません。